ÉQUATIONS ALX VAHIATIONS. 1 3
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ordre dépendant d un jiaranièlre ('2) ^ =/(^,7,>0, le second membre étant une fonction continue de :c,j', a, et ayant des dérivées partielles continues f\. et /"> dans un certain do- maine I). Linté^rale (|iii j)rend la valeur y^ pour xz=X(^ est encore une fonction continue y = 'i/(a:; Xo, T'o, A) de ^„, j'o, À dans un certain domaine o, car on peut la définir comme somme dune série uniformément convergente dont tous les termes sont des fonctions continues de x^ Xo, yo: ^^ dans ce domaine. Pour flémonlrer que la fonction 'l peut être dilïerentiée par rap|iorl à A, il suffira d'adjoindre à l'équation (12) les équations linéaires (>3) avec les valeurs initiales z ^= i , u = — /{jCot yo)i i' = o- 1-'^ repre- nant les raisonnements du n" 459, on verra f(ue les intégrales de ce nouveau système sont respectivement d'b d-b O'b La niélliode est évidemment générale, et l'on peut énoncer la pro- position générale suivante : Etant donné un système de n équations différentielles du premier ordre ^•4) -^ =/i(^,j'i,j'2, ••.,j'/r, Al, ..., A,,), •••< 177 =->^"' dont les seconds membres sont des fonctions continues des i^a- riahles x, y/, À^, et admettent des dérii^ées partielles conti- nues — > ^> dans un domaine D, les intégrales de ce système (/ui prennent les valeurs i/a'fiales y", j'!!, . . . , j'", pour x = Xq, sont elles-mêmes des fonctions continues et admettent des déri- vées partielles par rapport aux variables Xq^ (j>'/)) ^>a^ 7'^^ ^^nt aussi continues dans un domaine sufjisumment petit. i4 nupuni: wiii. — intkguai.es im'im.mf.nt voisines. llcniarrjue. — La mèiiie inclhode permetlrail de déinoiilrei- rexislence des dérivées partielles des intégrales jusqu'à l'ordre N, rclali veine :it aux variables x^^ {y^Di ''■Ai pourvu que les fonctions fstfi^ '••^fn admettent aussi des dérivées j)artielles continues relativement aux variables }'/. ).a, jusqu'au même ordre N. 401. Intégrales infiniment voisines. — On arrive à des conclu- sions |)lus j>récises lorsque Ton connaît déjà un svslènie particulier d intégrales des équations (IHrérentieiles considérées. Nous déve- lopperons encore le raisonncmenl. j)our simplifier, sur une équa- tion unique dv . ^ sur laquelle nous ferons les livj>othèses sui\anles : i" pour ). = o, cette équation admet une intégrale particulière j'i (jr), continue dans l'intervalle (.ro, ./'i); 2" la fonction f[X,j., A) est conlinue et admet des dérivées partielles continues y",.(j7,j', '/.). f;(x, j\ "/.) dans le domaine D défini par les conditions a et 6 étant deux nombres jiositifs. Soit R la bande du plan des ./)■ limitée ])ar les deux droites ûo = Xq. X = .Zi , et les deux courbes entre lesquelles est située la courbe intégrale connue r = ri (j-); la fonction /ïx, r, a) est continue, ain^i que ses dérivées par- tielles, /*,.,y) dans celle bande, pourxu cpie la valeur absolue de A soit inférieure à A. Cela posé, si la valeur absolue de A est assez petite, nous allons montrer que la mélliode de M. Picard conduit à des approxima- tions successives convergentes dans tout I intir\alle (.ro, Xt), pour lintégrale «jui prend l.i nii'iin' \alriir initiale i'„ que >'i(x) pour j" = j:„. Soient II cl K les bcu'ues sujiéneures de | /, | et de y- I dans le domaine 1 ) : r' et }' étant compris entre j')(x) — a et j-, (x) -h «. cl A. /.' entre — /> et -— />, ikjus a\ons toujours 1 inégalil»' de l.qoeliit/. (iG; \/{x;y, '/.')— fi X, y, À); < U y -r\ ~ K >.->,!.Link:milan inter
dimanche 11 août 2019
ÉQUATIONS ALX VAHIATIONS. 1 3
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