dimanche 11 août 2019

ÉQUATIONS ALX VAHIATIONS. 1 3

ÉQUATIONS ALX VAHIATIONS. 1 3 

ordre dépendant d un jiaranièlre 

('2) ^ =/(^,7,>0, 

le second membre étant une fonction continue de :c,j', a, et ayant 
des dérivées partielles continues f\. et /"> dans un certain do- 
maine I). Linté^rale (|iii j)rend la valeur y^ pour xz=X(^ est 
encore une fonction continue y = 'i/(a:; Xo, T'o, A) de ^„, j'o, À 
dans un certain domaine o, car on peut la définir comme somme 
dune série uniformément convergente dont tous les termes sont 
des fonctions continues de x^ Xo, yo: ^^ dans ce domaine. Pour 
flémonlrer que la fonction 'l peut être dilïerentiée par rap|iorl à A, 
il suffira d'adjoindre à l'équation (12) les équations linéaires 

(>3) 

avec les valeurs initiales z ^= i , u = — /{jCot yo)i i' = o- 1-'^ repre- 
nant les raisonnements du n" 459, on verra f(ue les intégrales de 
ce nouveau système sont respectivement 

d'b d-b O'b 

La niélliode est évidemment générale, et l'on peut énoncer la pro- 
position générale suivante : 

Etant donné un système de n équations différentielles du 
premier ordre 

^•4) -^ =/i(^,j'i,j'2, ••.,j'/r, Al, ..., A,,), •••< 177 =->^"' 

dont les seconds membres sont des fonctions continues des i^a- 
riahles x, y/, À^, et admettent des dérii^ées partielles conti- 
nues — > ^> dans un domaine D, les intégrales de ce système 

(/ui prennent les valeurs i/a'fiales y", j'!!, . . . , j'", pour x = Xq, 
sont elles-mêmes des fonctions continues et admettent des déri- 
vées partielles par rapport aux variables Xq^ (j>'/)) ^>a^ 7'^^ ^^nt 
aussi continues dans un domaine sufjisumment petit. 



i4 nupuni: wiii. — intkguai.es im'im.mf.nt voisines. 

llcniarrjue. — La mèiiie inclhode permetlrail de déinoiilrei- 
rexislence des dérivées partielles des intégrales jusqu'à l'ordre N, 
rclali veine :it aux variables x^^ {y^Di ''■Ai pourvu que les fonctions 
fstfi^ '••^fn admettent aussi des dérivées j)artielles continues 
relativement aux variables }'/. ).a, jusqu'au même ordre N. 

401. Intégrales infiniment voisines. — On arrive à des conclu- 
sions |)lus j>récises lorsque Ton connaît déjà un svslènie particulier 
d intégrales des équations (IHrérentieiles considérées. Nous déve- 
lopperons encore le raisonncmenl. j)our simplifier, sur une équa- 
tion unique 

dv . ^ 

sur laquelle nous ferons les livj>othèses sui\anles : i" pour ). = o, 
cette équation admet une intégrale particulière j'i (jr), continue 
dans l'intervalle (.ro, ./'i); 2" la fonction f[X,j., A) est conlinue et 
admet des dérivées partielles continues y",.(j7,j', '/.). f;(x, j\ "/.) 
dans le domaine D défini par les conditions 

a et 6 étant deux nombres jiositifs. 

Soit R la bande du plan des ./)■ limitée ])ar les deux droites 
ûo = Xq. X = .Zi , et les deux courbes 

entre lesquelles est située la courbe intégrale connue r = ri (j-); 
la fonction /ïx, r, a) est continue, ain^i que ses dérivées par- 
tielles, /*,.,y) dans celle bande, pourxu cpie la valeur absolue de A 
soit inférieure à A. 

Cela posé, si la valeur absolue de A est assez petite, nous allons 
montrer que la mélliode de M. Picard conduit à des approxima- 
tions successives convergentes dans tout I intir\alle (.ro, Xt), 
pour lintégrale «jui prend l.i nii'iin' \alriir initiale i'„ que >'i(x) 
pour j" = j:„. Soient II cl K les bcu'ues sujiéneures de | /, | et 
de y- I dans le domaine 1 ) : r' et }' étant compris entre j')(x) — a 
et j-, (x) -h «. cl A. /.' entre — /> et -— />, ikjus a\ons toujours 
1 inégalil»' de l.qoeliit/. 

(iG; \/{x;y, '/.')— fi X, y, À); < U y -r\ ~ K >.->,!. 

jeudi 31 décembre 2015

ef

Miss Universe 2015 LIVE STREAM