ÉQUATIONS ALX VAHIATIONS. 1 3
ordre dépendant d un jiaranièlre
('2) ^ =/(^,7,>0,
le second membre étant une fonction continue de :c,j', a, et ayant
des dérivées partielles continues f\. et /"> dans un certain do-
maine I). Linté^rale (|iii j)rend la valeur y^ pour xz=X(^ est
encore une fonction continue y = 'i/(a:; Xo, T'o, A) de ^„, j'o, À
dans un certain domaine o, car on peut la définir comme somme
dune série uniformément convergente dont tous les termes sont
des fonctions continues de x^ Xo, yo: ^^ dans ce domaine. Pour
flémonlrer que la fonction 'l peut être dilïerentiée par rap|iorl à A,
il suffira d'adjoindre à l'équation (12) les équations linéaires
(>3)
avec les valeurs initiales z ^= i , u = — /{jCot yo)i i' = o- 1-'^ repre-
nant les raisonnements du n" 459, on verra f(ue les intégrales de
ce nouveau système sont respectivement
d'b d-b O'b
La niélliode est évidemment générale, et l'on peut énoncer la pro-
position générale suivante :
Etant donné un système de n équations différentielles du
premier ordre
^•4) -^ =/i(^,j'i,j'2, ••.,j'/r, Al, ..., A,,), •••< 177 =->^"'
dont les seconds membres sont des fonctions continues des i^a-
riahles x, y/, À^, et admettent des dérii^ées partielles conti-
nues — > ^> dans un domaine D, les intégrales de ce système
(/ui prennent les valeurs i/a'fiales y", j'!!, . . . , j'", pour x = Xq,
sont elles-mêmes des fonctions continues et admettent des déri-
vées partielles par rapport aux variables Xq^ (j>'/)) ^>a^ 7'^^ ^^nt
aussi continues dans un domaine sufjisumment petit.
i4 nupuni: wiii. — intkguai.es im'im.mf.nt voisines.
llcniarrjue. — La mèiiie inclhode permetlrail de déinoiilrei-
rexislence des dérivées partielles des intégrales jusqu'à l'ordre N,
rclali veine :it aux variables x^^ {y^Di ''■Ai pourvu que les fonctions
fstfi^ '••^fn admettent aussi des dérivées j)artielles continues
relativement aux variables }'/. ).a, jusqu'au même ordre N.
401. Intégrales infiniment voisines. — On arrive à des conclu-
sions |)lus j>récises lorsque Ton connaît déjà un svslènie particulier
d intégrales des équations (IHrérentieiles considérées. Nous déve-
lopperons encore le raisonncmenl. j)our simplifier, sur une équa-
tion unique
dv . ^
sur laquelle nous ferons les livj>othèses sui\anles : i" pour ). = o,
cette équation admet une intégrale particulière j'i (jr), continue
dans l'intervalle (.ro, ./'i); 2" la fonction f[X,j., A) est conlinue et
admet des dérivées partielles continues y",.(j7,j', '/.). f;(x, j\ "/.)
dans le domaine D défini par les conditions
a et 6 étant deux nombres jiositifs.
Soit R la bande du plan des ./)■ limitée ])ar les deux droites
ûo = Xq. X = .Zi , et les deux courbes
entre lesquelles est située la courbe intégrale connue r = ri (j-);
la fonction /ïx, r, a) est continue, ain^i que ses dérivées par-
tielles, /*,.,y) dans celle bande, pourxu cpie la valeur absolue de A
soit inférieure à A.
Cela posé, si la valeur absolue de A est assez petite, nous allons
montrer que la mélliode de M. Picard conduit à des approxima-
tions successives convergentes dans tout I intir\alle (.ro, Xt),
pour lintégrale «jui prend l.i nii'iin' \alriir initiale i'„ que >'i(x)
pour j" = j:„. Soient II cl K les bcu'ues sujiéneures de | /, | et
de y- I dans le domaine 1 ) : r' et }' étant compris entre j')(x) — a
et j-, (x) -h «. cl A. /.' entre — /> et -— />, ikjus a\ons toujours
1 inégalil»' de l.qoeliit/.
(iG; \/{x;y, '/.')— fi X, y, À); < U y -r\ ~ K >.->,!.
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